-Цитата от Шмых

заинтересовался как-то общей алгеброй. сел изучать, за пару неделек дошёл до понятий изоморфизма и гомоморфизма. ебал-ебал мозги, нихера не понял и забросил весь этот бесполезный (для нормального человека) долбоебизм к хуям

Спустя практически год я вернулся к изучению общей (она же «абстрактная», она же «высшая», она же «современная») алгебры и разобрался-таки в понятиях гомоморфизма и изоморфизма. Спешу поделиться с вами сей радостной новостью, а также провести небольшой ликбез для тех, кому это интересно (90% копипаста). Итак, начнём…

Пусть даны две алгебры A(K: 1, 2, …, p) и B(M: ψ1, ψ2, …,ψp) одинакового типа. Для тех, кто не интересуется общей алгеброй поясню, что слово алгебра имеет три слабо связанных между собой значения:

1. общий предмет, как в данном случае (например, та же самая общая алгебра или известная всем со школы элементарная алгебра);
2. теория алгебраических операций, используемая в связи со специфической моделью (матричная алгебра, тензорная алгебра);
3. тип математической модели (линейная алгебра, булева алгебра) – вот это определение как раз нас и интересует, ибо две рассматриваемые алгебры (А и В) как раз и относятся к этому типу (к какому точно типу не оговорено, так как рассматривается общий случай; вообще-то это может быть и линейная алгебра, и булева алгебра).

Итак, что же из себя представляет третье определение алгебры?

Определение 1. Алгеброй называется множество М вместе с заданной на нём совокупностью операций 1, 2, …,m. Таким образом, система А=(М: 1, 2, …,m) называется алгеброй. М называется основным (или несущим) множеством (или просто носителем) алгебры А. Вектор арностей операций называется её типом, совокупность операций  – сигнатурой.

Возникает вопрос: а что такое множество, вектор, арность операции, сама операция и т.п.? Начнём с того, что понятия множества и вектора являются одними из основных, исходных понятий математики. Если всё-таки попытаться дать им определения, то их можно сформулировать следующим образом:

• Множество – это структура, представляющая собой набор, состоящий из элементов одного типа (то есть однородных элементов), которые не закреплены жёстко в этой структуре в определённом порядке и могут компоноваться различным образом.
• Вектор – это упорядоченный набор элементов (забудьте про направленный отрезок! это всего лишь графическая иллюстрация случая для двух и трёх элементов). Сказанное не следует считать определением вектора, поскольку тогда потребуется давать объяснения по поводу его синонима «упорядоченный набор» (эти же слова относятся и к предыдущему «определению» множества).

Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента а множеству М обозначается аМ (произносится «а принадлежит М»); непринадлежность а множеству М обозначается аМ (например, множество всех натуральных чисел N, где 1N, 2N, 3N и т.д.)

Отступление. Понятие множества, как и любое другое исходное понятие математической теории, не определяется. Ведь всякое определение содержит другие понятия, логически предшествующие определяемому; поэтому, по крайней мере, первое определение теории обязательно содержит неопределяемые понятия, которые и принимаются за исходные. В качестве исходных обычно выбираются понятия, в понимании которых не возникает существенных разногласий; более точно: различия в понимании которых не нарушают правильности ни одного положения теории.

Множество может быть задано:

• перечислением (списком своих элементов);

Примечание. Списком можно задавать лишь конечные множества. Задание типа N = 1, 2, 3 … – это не список, а условное обозначение, допустимое лишь тогда, когда оно заведомо не вызывает разночтений. Список обычно заключается в фигурные скобки. Например, A={a, b, d, h} означает, что множество А состоит из четырех элементов a, b, d и h.

• порождающей процедурой (сейчас не интересует);

• описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы (сейчас не интересует).

Понятие «вектор» (другой синоним – «кортеж») будем считать, как и понятие множества, неопределяемым. Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Координаты нумеруются слева направо. Число координат называется длиной или размерностью вектора. Бесконечные векторы рассматриваться не будут. В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать. Вектор будем заключать в круглые скобки, например (0, 5, 4, 5). Иногда скобки и даже запятые опускаются. Векторы длины 2 часто называются упорядоченными парами (или просто парами), векторы длины 3 – тройками и т.д. Вектор длины n иногда называют n-кой (произносится «энкой»).

Итак, с понятиями множество и вектор мы разобрались. Теперь перейдём к понятиям операция и её арность.

Определение 2. Функция типа : MnM называется n-арной (произносится «энарной») операцией на множестве M; n называется арностью операции .

Например, сложение «c=a+b» – это бинарная операция, то есть функциональное соответствие между упорядоченными парами (a, b) и элементом c, где a, b, cR (множеству действительных чисел, допустим), то есть это множество упорядоченных пар, первой компонентой которой является упорядоченная пара (a, b), а второй – элемент с (иначе говоря, сложение – это {((1, 2), 3); ((5, -7), -2); ((½, ½), 1); и т.д.})

У кого-то (вдруг, кто-то осилил до этого места) может возникнуть вполне закономерный вопрос: что такое функция и множество M, возведённое в степень n.

Здесь придётся ввести понятие соответствия, проекции вектора на ось и прямого произведения множеств.

Определение 3. Прямым произведением множеств А и В (обозначение AB) называется множество всех пар (a, b) таких, что aA, bB. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат A. Такое произведение обозначается А2. Аналогично прямым произведением множеств A1, A2, …, An (обозначение A1A2…An) называется множество всех векторов a1, a2, …, an) длины n таких, что a1 A1, a2A2, …, anAn . AА…A обозначается Аn.

То есть множество M, возведённое в степень n (Mn) – это ничто иное, как множество энок, то есть векторов состоящий из n элементов, принадлежащих множеству М. То есть, если множество М состоит из элементов {1, 2}, то M3 – множество {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}.

Или, например, если R – это множество действительных чисел, то множество RR=R2 – это множество точек плоскости, точнее, пар вида (а, b), где a, bR и являются координатами точек плоскости.

Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Декартом, исторически первый пример прямого произведения. Поэтому иногда прямое произведение называют декартовым.

Определение 4. Проекцией вектора v на i-ю ось (обозначение прi ) называется его i-я компонента (то есть число). Проекцией множества векторов на i-ю ось называется множество проекций всех этих векторов на i-ю ось (то есть множество).

Например, если дан вектора а=(2, 4, 5, 6), b=(7, 2, 4), c=(1, 3), то пр3a=5, пр3b=4, пр3c=0, пр3{a, b, c}={5, 4, 0}.

Определение 5. Соответствием между множествами А и В называется подмножество G  A B.

Если a, bG , то говорят, что b соответствует а при соответствии G. Множество пр1G называется областью определения соответствия, множество пр2G – областью значений соответствия. Если пр1G  A, то соответствие называется всюду определенным (в противном случае соответствие называется частичным); если пр2GB , то соответствие называется сюръективным.

Множество всех bB , соответствующих элементу aA, называется образом а в В при соответствии G. Множество всех а, которым соответствует b, называется прообразом b в А при соответствии G.

Соответствие G называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из пр1G является единственный элемент из пр2G. Соответствие G между А и В называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и, кроме того, прообразом любого элемента из пр2G является единственный элемент из пр1G.

Определение 6. Функцией называется функциональное соответствие, то есть образом любого элемента из пр1G является единственный элемент из пр2G.

Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция f имеет тип AB (обозначение f: AB ). Каждому элементу а из своей области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это обозначается хорошо известной записью f(a) = b. Иногда, если это не вызывает неудобств, используют обозначения fа или аf. Элемент а называется аргументом функции, b – значением функции на а. Полностью определенная функция f: AB называется отображением А в В. Если соответствие f при этом сюръективно, т.е. каждый элемент В имеет прообраз в А, то говорят, что имеет место отображение А на В (сюръективное отображение). Отображение типа A A часто называют преобразованием множества А.


Итак, разобравшись с понятиями «алгебра» (множество вместе с заданной на нём совокупностью операций), «n-арная операция» (функциональное соответствие между прямым произведением множества на себя n раз и этим множеством), «множество» и «вектор», вернёмся к понятиям «гомоморфизм» и «изоморфизм».

Пусть даны две алгебры A(K: 1, 2, …, p) и B(M: ψ1, ψ2, …,ψp) одинакового типа («одинаковый тип» означает, что операции с одинаковым индексом имеют одну и ту же арность, то есть операции 1, ψ1 имеют арность 4, например; операции 2, ψ2 имеют арность 2, допустим).

Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение Г: K M , удовлетворяющее условию

Г(i(k1, k2, …, kl(i)))=ψi(Г(k1), Г(k2), …, Г(kl(i))) (*)

для всех i=1, 2, …, p [l(i) – арность операций i, ψi, которая у них по условию одинакова – помните условие про «одинаковый тип» алгебр А и В] и для всех kK.

Смысл условия (*) в том, что, независимо от того, выполнена ли сначала операция φi в А и затем произведено отображение Г либо сначала произведено отображение Г, а затем в В выполнена соответствующая операция ψi, результат будет одинаков.

Изоморфизмом алгебры А на алгебру В, если коротки, называется взаимнооднозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение Г-1: M K , также взаимно-однозначное.

Я изобразил схематично то, как понимаю гомоморфизм. В случае изоморфизма красные и зелёная стрелки должны быть двунаправлены.

Например, изоморфизмом между алгебрами R ,  и R, , где R – положительная часть R, является отображение aloga (по любому основанию). Условие (*) имеет вид равенства log(a∙b) = loga + logb.

Исходя из рисунка, операции φi и ψi имеют арность 3 (напомню, что у алгебр А и В), то есть операция φi вектору (k1, k2, k3) ставит в функиональное соответствие элемент k9, а операция ψi вектору (m1, m2, m3) ставит в соответствие элемент m9. Красными же и зелёной линиями обозначен этот самый гомоморфизм. То есть неважно что сделать сначала в множестве К: найти соответствие вектору (k1, k2, k3) в этом множестве (К), а потом его «сгомоморфить» на множество М или же сначала «сгомоморфить» вектора (k1, k2, k3) на множество М и потом найти функциональное соответствие этого результата согласно операции ψi – в итоге мы получим один и тот же результат, а именно, m9.

Неправда ли я крут, господа?

Для тех, кто спросит, где это может применяться

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его существо, как видно из последних двух примеров, можно выразить следующим образом: если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции В можно переименовать так, что В совпадет с А. Из условия (1) изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в любой изоморфной ей алгебре А'. Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре А, автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение «рассматривать объекты с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т.е. являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.