А я думаю, что здесь важно не то, как слово переводится, а то как оно ощущается. ИМХО Это описание настроения, и каждый кто в теме может придавать ему своё неповторимое значение (возможно понятное только ему).
Тем более его значения весьма противоречивы - очень/весьма/достаточно, а в английском словаре Promt'а assai с английского переводится как наречие "ассаи" .
Сам Леха говорил - что этим словом описывается настроение альбома "Другие берега".

P.S. Исходя из вышесказанного попробуйте воспринимать строчку из "Нежности" не как "Твоя нежность, Ассаи ", а как "Твоя нежность assai".