Для ценителей изоморфизма.
Пища для ума

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть v \in T_p M — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора g на M, мы получаем, что g(v,\cdot), то есть отображение, которое переводит другой вектор w \in T_p M в число g(v,w), является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) T_p^*M. Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что g сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

\ g_{ij}v^j = v_i — опускание индекса для вектора,
\ g^{ij}v_j = v^i — поднятие индекса для вектора,
\ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs} = T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs} — пример одновременного поднятия индекса j и опускания индекса n для тензора большой валентности.
(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.