-Цитата от Шмых

-Цитата от Липинский Евгений

-Цитата от Шмых

Поправочка: можно возводить не матрицы в степени "матрица", а число Эйлера в степень "матрица" по формуле Сильвестра.

мда... ряд значит получается... впринципе экпонента это тоже число, так что по идее с любым другим числом можно проделать нечто подобное, только там уже формула сильвестра работать не будет.

Получается не ряд, а конечная сумма членов, количество которых равняется, насколько я понял... а хуй знает, чем там это всё ограничивается... Верхний индекс суммы мне плохо виден

)) посчитать до числового значения эту сумму – хорошее занятие для мазахиста. интересно где такое может применяться....

-Цитата от underatm

Каже обойма/Крипл - Математика
Loc-Dog - Математика
Slim - Математика


кто продолжит?

Шмых - Математика

Кто знает строгое определение функции? Только давайте без ссылок на Википедию. Лично я читал два определения:

1. Функция - это функциональное соответствие между двумя множествами (иначе говоря множество упорядоченных пар (x, f(x)), т.е. каждому элементу x из области определения функции ставится в соответствие единственный образ f(x) из области значений функции)

2. Функция - это бесконечномерный вектор, элементами которого являются упорядоченные пары (x, f(x))

Так всё-таки, какое определение более строгое? Что первичнее в определении функции: множество или вектор? Я, например, считаю, что множество первичнее и соответственно отдаю предпочтение первому определению.

-Цитата от wordik

-Цитата от underatm

Каже обойма/Крипл - Математика
Loc-Dog - Математика
Slim - Математика


кто продолжит?

Шмых - Математика

wordik - Я сую сникерс в обмазанный ванилью анус своего кота, а потом его ем

Показать скрытый текст

сникерс ем, а не кота!

Показать скрытый текст

иначе кого я буду ебать?

Добавлено через 17 минут 39 секунд

-Цитата от Липинский Евгений

-Цитата от Шмых

-Цитата от Липинский Евгений

мда... ряд значит получается... впринципе экпонента это тоже число, так что по идее с любым другим числом можно проделать нечто подобное, только там уже формула сильвестра работать не будет.

Получается не ряд, а конечная сумма членов, количество которых равняется, насколько я понял... а хуй знает, чем там это всё ограничивается... Верхний индекс суммы мне плохо виден

)) посчитать до числового значения эту сумму – хорошее занятие для мазахиста. интересно где такое может применяться

Это применяется в матричном методе решения диффуров 1-го порядка, записанных в нормальной форме

-Цитата от Шмых

Кто знает строгое определение функции? Только давайте без ссылок на Википедию. Лично я читал два определения:

1. Функция - это функциональное соответствие между двумя множествами (иначе говоря множество упорядоченных пар (x, f(x)), т.е. каждому элементу x из области определения функции ставится в соответствие единственный образ f(x) из области значений функции)

2. Функция - это бесконечномерный вектор, элементами которого являются упорядоченные пары (x, f(x))

Так всё-таки, какое определение более строгое? Что первичнее в определении функции: множество или вектор? Я, например, считаю, что множество первичнее и соответственно отдаю предпочтение первому определению.

-Цитата от wordik

-Цитата от underatm

Каже обойма/Крипл - Математика
Loc-Dog - Математика
Slim - Математика


кто продолжит?

Шмых - Математика

wordik - Я сую сникерс в обмазанный ванилью анус своего кота, а потом его ем

Показать скрытый текст

сникерс ем, а не кота!

Показать скрытый текст

иначе кого я буду ебать?

Добавлено через 17 минут 39 секунд

-Цитата от Липинский Евгений

-Цитата от Шмых

Получается не ряд, а конечная сумма членов, количество которых равняется, насколько я понял... а хуй знает, чем там это всё ограничивается... Верхний индекс суммы мне плохо виден

)) посчитать до числового значения эту сумму – хорошее занятие для мазахиста. интересно где такое может применяться

Это применяется в матричном методе решения диффуров 1-го порядка, записанных в нормальной форме

ну... я не настолько оторванный от реальности гик, что сходу могу понять суть "диффуров 1-го порядка, записанных в нормальной форме"... мне на физических примерах все понятней. я ж инженер ну наверно можно вычислять движение какой-то материальной точки в некотором поле (условно электрон в неравномерном электростатическом поле) и для каждого момента времени и конктетной координаты определять значение скорости и ускорения...

...а для функции можно много всяких определений навыдумывать - смотря о чем идет речь.
общий смысл примерно такой:
Функция - это зависимость одной переменной величины от другой, которую можно описать математическим законом (формулой, графиком, таблицей), при этом каждому аргументу соответствует одно и только одно значение функции (в случае двумерной функции).
Более технический подход к функции: Функция - устройство, на вход которого подается X, а на выходе получается Y.
Мне еще нравится такое определение: Функция - определенное действие над переменной. по-моему это самое широкое определение функции, которое выходит за рамки математики.

функция- это правило, которое ставит в соотвествие элементам одного множества элементы другого множества.

-Цитата от Липинский Евгений

Функция - это зависимость одной переменной величины от другой

-Цитата от Липинский Евгений

Функция - определенное действие над переменной

А теперь интересный вопрос: что ты понимаешь под зависимостью и действием? Какие бы ты дал определения этим понятиям?

-Цитата от Шмых

-Цитата от Липинский Евгений

Функция - это зависимость одной переменной величины от другой

-Цитата от Липинский Евгений

Функция - определенное действие над переменной

А теперь интересный вопрос: что ты понимаешь под зависимостью и действием? Какие бы ты дал определения этим понятиям?

мы рискуем утонуть в терминологии так и не дойдя, собственно, до математики )

зависимость - некий закон соответствия элементов одного множества элементам другого множества.
действие - движение/измерение материи или закон, описывающий это движение/изменение.

я думаю, что Липинский Евгений прав хотя бы потому, что у него рега кошернее.

-Цитата от Липинский Евгений

-Цитата от Шмых

-Цитата от Липинский Евгений

Функция - это зависимость одной переменной величины от другой

-Цитата от Липинский Евгений

Функция - определенное действие над переменной

А теперь интересный вопрос: что ты понимаешь под зависимостью и действием? Какие бы ты дал определения этим понятиям?

мы рискуем утонуть в терминологии так и не дойдя, собственно, до математики )

зависимость - некий закон соответствия элементов одного множества элементам другого множества.
действие - движение/измерение материи или закон, описывающий это движение/изменение.

В математике есть как минимум два несводимых к другим понятия: множество и вектор. Вот я и пытаюсь понять: функция - это множество или вектор. Пока что склоняюсь к тому, что функция - это множество

-Цитата от Коламбус

я думаю, что Липинский Евгений прав хотя бы потому, что у него рега кошернее.

Интересный критерий, даже косвенно затрагивает математику, ибо задействует собой числа

вот это вы загоняетесь тут
нам в универе сказали, что функция - отображение одного множества в другое и на этом хватит

-Цитата от Шмых

-Цитата от Липинский Евгений

-Цитата от Шмых

А теперь интересный вопрос: что ты понимаешь под зависимостью и действием? Какие бы ты дал определения этим понятиям?

мы рискуем утонуть в терминологии так и не дойдя, собственно, до математики )

зависимость - некий закон соответствия элементов одного множества элементам другого множества.
действие - движение/измерение материи или закон, описывающий это движение/изменение.

В математике есть как минимум два несводимых к другим понятия: множество и вектор. Вот я и пытаюсь понять: функция - это множество или вектор. Пока что склоняюсь к тому, что функция - это множество

-Цитата от Коламбус

я думаю, что Липинский Евгений прав хотя бы потому, что у него рега кошернее.

Интересный критерий, даже косвенно затрагивает математику, ибо задействует собой числа

если честно, вот это определение, что функция это бесконечномерный вектор, для меня как-то вообще не очевидно... какое-то очень специальное определение для любителей теории струн и проч... зачем для каждой пары {x;f(x)} делать отдельное измерение? есть такое понятие как вектор-функция, но там обходятся двумя/тремя измерениями.

-Цитата от aqvl

функция - отображение одного множества в другое и на этом хватит

Отображение - это частный случай функции, когда она полностью определена на отображаемом множестве

-Цитата от Липинский Евгений

есть такое понятие как вектор-функция, но там обходятся двумя/тремя измерениями.

У вектор-функции может быть сколько угодно измерений. Вообще я так думаю, что функция понимается, как множество или вектор в зависимости от ситуации.

-Цитата от Шмых

-Цитата от aqvl

функция - отображение одного множества в другое и на этом хватит

Отображение - это частный случай функции, когда она полностью определена на отображаемом множестве

-Цитата от Липинский Евгений

есть такое понятие как вектор-функция, но там обходятся двумя/тремя измерениями.

У вектор-функции может быть сколько угодно измерений. Вообще я так думаю, что функция понимается, как множество или вектор в зависимости от ситуации.

в смысле?
отображаемое множество -область определения функции, не?

-Цитата от aqvl

-Цитата от Шмых

-Цитата от aqvl

функция - отображение одного множества в другое и на этом хватит

Отображение - это частный случай функции, когда она полностью определена на отображаемом множестве

-Цитата от Липинский Евгений

есть такое понятие как вектор-функция, но там обходятся двумя/тремя измерениями.

У вектор-функции может быть сколько угодно измерений. Вообще я так думаю, что функция понимается, как множество или вектор в зависимости от ситуации.

в смысле?
отображаемое множество -область определения функции, не?

нет, это разные вещи: отображаемое множество - это множество тех чисел, на которых задаётся аргумент функции, но не везде он, грубо говоря, "мыслим", то есть даёт корректное для функции значение (а именно, значение подходящее под отображённое множество).

о.о.ф. - это проекция прямого произведения отображаемого и отображённого множества на отображаемое множество, то есть, грубо говоря, это вектор.

короче, есть функция f(x)=1/x: R -> R (то есть эта функция отображает множество действительных чисел на множество действительных чисел, но как таковым отображением не является, так как для нуля это отображение не определено)

ещё пример... есть функция f(x)="корень из икс": N -> N (натуральные числа в натуральные, но для таких чисел, как 2, 3, 5, 6, 7... это отображение не верно, так как полученные извлечением корня образы не являются натуральными числами; функция определена только для чисел 4, 9, 16 и т.п.; потому это именно функция, а не отображение)

пример отображения множества в множество: f(x)=sin(x): R -> R
пример отображения множества на множество: f(x)=x^3: R -> R

Кто то сможет решить задачи по курсу Методы Оптимизации? Там Задачи Максимизации, Минимизации, Симплекс Методы. Надо сегодня)

дьявольская наука математика ваша

-Цитата от Шмых

заинтересовался как-то общей алгеброй. сел изучать, за пару неделек дошёл до понятий изоморфизма и гомоморфизма. ебал-ебал мозги, нихера не понял и забросил весь этот бесполезный (для нормального человека) долбоебизм к хуям

Спустя практически год я вернулся к изучению общей (она же «абстрактная», она же «высшая», она же «современная») алгебры и разобрался-таки в понятиях гомоморфизма и изоморфизма. Спешу поделиться с вами сей радостной новостью, а также провести небольшой ликбез для тех, кому это интересно (90% копипаста). Итак, начнём…

Пусть даны две алгебры A(K: 1, 2, …, p) и B(M: ψ1, ψ2, …,ψp) одинакового типа. Для тех, кто не интересуется общей алгеброй поясню, что слово алгебра имеет три слабо связанных между собой значения:

1. общий предмет, как в данном случае (например, та же самая общая алгебра или известная всем со школы элементарная алгебра);
2. теория алгебраических операций, используемая в связи со специфической моделью (матричная алгебра, тензорная алгебра);
3. тип математической модели (линейная алгебра, булева алгебра) – вот это определение как раз нас и интересует, ибо две рассматриваемые алгебры (А и В) как раз и относятся к этому типу (к какому точно типу не оговорено, так как рассматривается общий случай; вообще-то это может быть и линейная алгебра, и булева алгебра).

Итак, что же из себя представляет третье определение алгебры?

Определение 1. Алгеброй называется множество М вместе с заданной на нём совокупностью операций 1, 2, …,m. Таким образом, система А=(М: 1, 2, …,m) называется алгеброй. М называется основным (или несущим) множеством (или просто носителем) алгебры А. Вектор арностей операций называется её типом, совокупность операций  – сигнатурой.

Возникает вопрос: а что такое множество, вектор, арность операции, сама операция и т.п.? Начнём с того, что понятия множества и вектора являются одними из основных, исходных понятий математики. Если всё-таки попытаться дать им определения, то их можно сформулировать следующим образом:

• Множество – это структура, представляющая собой набор, состоящий из элементов одного типа (то есть однородных элементов), которые не закреплены жёстко в этой структуре в определённом порядке и могут компоноваться различным образом.
• Вектор – это упорядоченный набор элементов (забудьте про направленный отрезок! это всего лишь графическая иллюстрация случая для двух и трёх элементов). Сказанное не следует считать определением вектора, поскольку тогда потребуется давать объяснения по поводу его синонима «упорядоченный набор» (эти же слова относятся и к предыдущему «определению» множества).

Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента а множеству М обозначается аМ (произносится «а принадлежит М»); непринадлежность а множеству М обозначается аМ (например, множество всех натуральных чисел N, где 1N, 2N, 3N и т.д.)

Отступление. Понятие множества, как и любое другое исходное понятие математической теории, не определяется. Ведь всякое определение содержит другие понятия, логически предшествующие определяемому; поэтому, по крайней мере, первое определение теории обязательно содержит неопределяемые понятия, которые и принимаются за исходные. В качестве исходных обычно выбираются понятия, в понимании которых не возникает существенных разногласий; более точно: различия в понимании которых не нарушают правильности ни одного положения теории.

Множество может быть задано:

• перечислением (списком своих элементов);

Примечание. Списком можно задавать лишь конечные множества. Задание типа N = 1, 2, 3 … – это не список, а условное обозначение, допустимое лишь тогда, когда оно заведомо не вызывает разночтений. Список обычно заключается в фигурные скобки. Например, A={a, b, d, h} означает, что множество А состоит из четырех элементов a, b, d и h.

• порождающей процедурой (сейчас не интересует);

• описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы (сейчас не интересует).

Понятие «вектор» (другой синоним – «кортеж») будем считать, как и понятие множества, неопределяемым. Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Координаты нумеруются слева направо. Число координат называется длиной или размерностью вектора. Бесконечные векторы рассматриваться не будут. В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать. Вектор будем заключать в круглые скобки, например (0, 5, 4, 5). Иногда скобки и даже запятые опускаются. Векторы длины 2 часто называются упорядоченными парами (или просто парами), векторы длины 3 – тройками и т.д. Вектор длины n иногда называют n-кой (произносится «энкой»).

Итак, с понятиями множество и вектор мы разобрались. Теперь перейдём к понятиям операция и её арность.

Определение 2. Функция типа : MnM называется n-арной (произносится «энарной») операцией на множестве M; n называется арностью операции .

Например, сложение «c=a+b» – это бинарная операция, то есть функциональное соответствие между упорядоченными парами (a, b) и элементом c, где a, b, cR (множеству действительных чисел, допустим), то есть это множество упорядоченных пар, первой компонентой которой является упорядоченная пара (a, b), а второй – элемент с (иначе говоря, сложение – это {((1, 2), 3); ((5, -7), -2); ((½, ½), 1); и т.д.})

У кого-то (вдруг, кто-то осилил до этого места) может возникнуть вполне закономерный вопрос: что такое функция и множество M, возведённое в степень n.

Здесь придётся ввести понятие соответствия, проекции вектора на ось и прямого произведения множеств.

Определение 3. Прямым произведением множеств А и В (обозначение AB) называется множество всех пар (a, b) таких, что aA, bB. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат A. Такое произведение обозначается А2. Аналогично прямым произведением множеств A1, A2, …, An (обозначение A1A2…An) называется множество всех векторов a1, a2, …, an) длины n таких, что a1 A1, a2A2, …, anAn . AА…A обозначается Аn.

То есть множество M, возведённое в степень n (Mn) – это ничто иное, как множество энок, то есть векторов состоящий из n элементов, принадлежащих множеству М. То есть, если множество М состоит из элементов {1, 2}, то M3 – множество {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}.

Или, например, если R – это множество действительных чисел, то множество RR=R2 – это множество точек плоскости, точнее, пар вида (а, b), где a, bR и являются координатами точек плоскости.

Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Декартом, исторически первый пример прямого произведения. Поэтому иногда прямое произведение называют декартовым.

Определение 4. Проекцией вектора v на i-ю ось (обозначение прi ) называется его i-я компонента (то есть число). Проекцией множества векторов на i-ю ось называется множество проекций всех этих векторов на i-ю ось (то есть множество).

Например, если дан вектора а=(2, 4, 5, 6), b=(7, 2, 4), c=(1, 3), то пр3a=5, пр3b=4, пр3c=0, пр3{a, b, c}={5, 4, 0}.

Определение 5. Соответствием между множествами А и В называется подмножество G  A B.

Если a, bG , то говорят, что b соответствует а при соответствии G. Множество пр1G называется областью определения соответствия, множество пр2G – областью значений соответствия. Если пр1G  A, то соответствие называется всюду определенным (в противном случае соответствие называется частичным); если пр2GB , то соответствие называется сюръективным.

Множество всех bB , соответствующих элементу aA, называется образом а в В при соответствии G. Множество всех а, которым соответствует b, называется прообразом b в А при соответствии G.

Соответствие G называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из пр1G является единственный элемент из пр2G. Соответствие G между А и В называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и, кроме того, прообразом любого элемента из пр2G является единственный элемент из пр1G.

Определение 6. Функцией называется функциональное соответствие, то есть образом любого элемента из пр1G является единственный элемент из пр2G.

Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция f имеет тип AB (обозначение f: AB ). Каждому элементу а из своей области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это обозначается хорошо известной записью f(a) = b. Иногда, если это не вызывает неудобств, используют обозначения fа или аf. Элемент а называется аргументом функции, b – значением функции на а. Полностью определенная функция f: AB называется отображением А в В. Если соответствие f при этом сюръективно, т.е. каждый элемент В имеет прообраз в А, то говорят, что имеет место отображение А на В (сюръективное отображение). Отображение типа A A часто называют преобразованием множества А.


Итак, разобравшись с понятиями «алгебра» (множество вместе с заданной на нём совокупностью операций), «n-арная операция» (функциональное соответствие между прямым произведением множества на себя n раз и этим множеством), «множество» и «вектор», вернёмся к понятиям «гомоморфизм» и «изоморфизм».

Пусть даны две алгебры A(K: 1, 2, …, p) и B(M: ψ1, ψ2, …,ψp) одинакового типа («одинаковый тип» означает, что операции с одинаковым индексом имеют одну и ту же арность, то есть операции 1, ψ1 имеют арность 4, например; операции 2, ψ2 имеют арность 2, допустим).

Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение Г: K M , удовлетворяющее условию

Г(i(k1, k2, …, kl(i)))=ψi(Г(k1), Г(k2), …, Г(kl(i))) (*)

для всех i=1, 2, …, p [l(i) – арность операций i, ψi, которая у них по условию одинакова – помните условие про «одинаковый тип» алгебр А и В] и для всех kK.

Смысл условия (*) в том, что, независимо от того, выполнена ли сначала операция φi в А и затем произведено отображение Г либо сначала произведено отображение Г, а затем в В выполнена соответствующая операция ψi, результат будет одинаков.

Изоморфизмом алгебры А на алгебру В, если коротки, называется взаимнооднозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение Г-1: M K , также взаимно-однозначное.

Я изобразил схематично то, как понимаю гомоморфизм. В случае изоморфизма красные и зелёная стрелки должны быть двунаправлены.

Например, изоморфизмом между алгебрами R ,  и R, , где R – положительная часть R, является отображение aloga (по любому основанию). Условие (*) имеет вид равенства log(a∙b) = loga + logb.

Исходя из рисунка, операции φi и ψi имеют арность 3 (напомню, что у алгебр А и В), то есть операция φi вектору (k1, k2, k3) ставит в функиональное соответствие элемент k9, а операция ψi вектору (m1, m2, m3) ставит в соответствие элемент m9. Красными же и зелёной линиями обозначен этот самый гомоморфизм. То есть неважно что сделать сначала в множестве К: найти соответствие вектору (k1, k2, k3) в этом множестве (К), а потом его «сгомоморфить» на множество М или же сначала «сгомоморфить» вектора (k1, k2, k3) на множество М и потом найти функциональное соответствие этого результата согласно операции ψi – в итоге мы получим один и тот же результат, а именно, m9.

Неправда ли я крут, господа?

Для тех, кто спросит, где это может применяться

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его существо, как видно из последних двух примеров, можно выразить следующим образом: если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции В можно переименовать так, что В совпадет с А. Из условия (1) изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в любой изоморфной ей алгебре А'. Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре А, автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение «рассматривать объекты с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т.е. являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.

-Цитата от Шмых

-Цитата от Шмых

заинтересовался как-то общей алгеброй. сел изучать, за пару неделек дошёл до понятий изоморфизма и гомоморфизма. ебал-ебал мозги, нихера не понял и забросил весь этот бесполезный (для нормального человека) долбоебизм к хуям

Спустя практически год я вернулся к изучению общей (она же «абстрактная», она же «высшая», она же «современная») алгебры и разобрался-таки в понятиях гомоморфизма и изоморфизма. Спешу поделиться с вами сей радостной новостью, а также провести небольшой ликбез для тех, кому это интересно (90% копипаста). Итак, начнём…

Пусть даны две алгебры A(K: 1, 2, …, p) и B(M: ψ1, ψ2, …,ψp) одинакового типа. Для тех, кто не интересуется общей алгеброй поясню, что слово алгебра имеет три слабо связанных между собой значения:

1. общий предмет, как в данном случае (например, та же самая общая алгебра или известная всем со школы элементарная алгебра);
2. теория алгебраических операций, используемая в связи со специфической моделью (матричная алгебра, тензорная алгебра);
3. тип математической модели (линейная алгебра, булева алгебра) – вот это определение как раз нас и интересует, ибо две рассматриваемые алгебры (А и В) как раз и относятся к этому типу (к какому точно типу не оговорено, так как рассматривается общий случай; вообще-то это может быть и линейная алгебра, и булева алгебра).

Итак, что же из себя представляет третье определение алгебры?

Определение 1. Алгеброй называется множество М вместе с заданной на нём совокупностью операций 1, 2, …,m. Таким образом, система А=(М: 1, 2, …,m) называется алгеброй. М называется основным (или несущим) множеством (или просто носителем) алгебры А. Вектор арностей операций называется её типом, совокупность операций  – сигнатурой.

Возникает вопрос: а что такое множество, вектор, арность операции, сама операция и т.п.? Начнём с того, что понятия множества и вектора являются одними из основных, исходных понятий математики. Если всё-таки попытаться дать им определения, то их можно сформулировать следующим образом:

• Множество – это структура, представляющая собой набор, состоящий из элементов одного типа (то есть однородных элементов), которые не закреплены жёстко в этой структуре в определённом порядке и могут компоноваться различным образом.
• Вектор – это упорядоченный набор элементов (забудьте про направленный отрезок! это всего лишь графическая иллюстрация случая для двух и трёх элементов). Сказанное не следует считать определением вектора, поскольку тогда потребуется давать объяснения по поводу его синонима «упорядоченный набор» (эти же слова относятся и к предыдущему «определению» множества).

Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента а множеству М обозначается аМ (произносится «а принадлежит М»); непринадлежность а множеству М обозначается аМ (например, множество всех натуральных чисел N, где 1N, 2N, 3N и т.д.)

Отступление. Понятие множества, как и любое другое исходное понятие математической теории, не определяется. Ведь всякое определение содержит другие понятия, логически предшествующие определяемому; поэтому, по крайней мере, первое определение теории обязательно содержит неопределяемые понятия, которые и принимаются за исходные. В качестве исходных обычно выбираются понятия, в понимании которых не возникает существенных разногласий; более точно: различия в понимании которых не нарушают правильности ни одного положения теории.

Множество может быть задано:

• перечислением (списком своих элементов);

Примечание. Списком можно задавать лишь конечные множества. Задание типа N = 1, 2, 3 … – это не список, а условное обозначение, допустимое лишь тогда, когда оно заведомо не вызывает разночтений. Список обычно заключается в фигурные скобки. Например, A={a, b, d, h} означает, что множество А состоит из четырех элементов a, b, d и h.

• порождающей процедурой (сейчас не интересует);

• описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы (сейчас не интересует).

Понятие «вектор» (другой синоним – «кортеж») будем считать, как и понятие множества, неопределяемым. Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Координаты нумеруются слева направо. Число координат называется длиной или размерностью вектора. Бесконечные векторы рассматриваться не будут. В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать. Вектор будем заключать в круглые скобки, например (0, 5, 4, 5). Иногда скобки и даже запятые опускаются. Векторы длины 2 часто называются упорядоченными парами (или просто парами), векторы длины 3 – тройками и т.д. Вектор длины n иногда называют n-кой (произносится «энкой»).

Итак, с понятиями множество и вектор мы разобрались. Теперь перейдём к понятиям операция и её арность.

Определение 2. Функция типа : MnM называется n-арной (произносится «энарной») операцией на множестве M; n называется арностью операции .

Например, сложение «c=a+b» – это бинарная операция, то есть функциональное соответствие между упорядоченными парами (a, b) и элементом c, где a, b, cR (множеству действительных чисел, допустим), то есть это множество упорядоченных пар, первой компонентой которой является упорядоченная пара (a, b), а второй – элемент с (иначе говоря, сложение – это {((1, 2), 3); ((5, -7), -2); ((½, ½), 1); и т.д.})

У кого-то (вдруг, кто-то осилил до этого места) может возникнуть вполне закономерный вопрос: что такое функция и множество M, возведённое в степень n.

Здесь придётся ввести понятие соответствия, проекции вектора на ось и прямого произведения множеств.

Определение 3. Прямым произведением множеств А и В (обозначение AB) называется множество всех пар (a, b) таких, что aA, bB. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат A. Такое произведение обозначается А2. Аналогично прямым произведением множеств A1, A2, …, An (обозначение A1A2…An) называется множество всех векторов a1, a2, …, an) длины n таких, что a1 A1, a2A2, …, anAn . AА…A обозначается Аn.

То есть множество M, возведённое в степень n (Mn) – это ничто иное, как множество энок, то есть векторов состоящий из n элементов, принадлежащих множеству М. То есть, если множество М состоит из элементов {1, 2}, то M3 – множество {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}.

Или, например, если R – это множество действительных чисел, то множество RR=R2 – это множество точек плоскости, точнее, пар вида (а, b), где a, bR и являются координатами точек плоскости.

Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Декартом, исторически первый пример прямого произведения. Поэтому иногда прямое произведение называют декартовым.

Определение 4. Проекцией вектора v на i-ю ось (обозначение прi ) называется его i-я компонента (то есть число). Проекцией множества векторов на i-ю ось называется множество проекций всех этих векторов на i-ю ось (то есть множество).

Например, если дан вектора а=(2, 4, 5, 6), b=(7, 2, 4), c=(1, 3), то пр3a=5, пр3b=4, пр3c=0, пр3{a, b, c}={5, 4, 0}.

Определение 5. Соответствием между множествами А и В называется подмножество G  A B.

Если a, bG , то говорят, что b соответствует а при соответствии G. Множество пр1G называется областью определения соответствия, множество пр2G – областью значений соответствия. Если пр1G  A, то соответствие называется всюду определенным (в противном случае соответствие называется частичным); если пр2GB , то соответствие называется сюръективным.

Множество всех bB , соответствующих элементу aA, называется образом а в В при соответствии G. Множество всех а, которым соответствует b, называется прообразом b в А при соответствии G.

Соответствие G называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из пр1G является единственный элемент из пр2G. Соответствие G между А и В называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и, кроме того, прообразом любого элемента из пр2G является единственный элемент из пр1G.

Определение 6. Функцией называется функциональное соответствие, то есть образом любого элемента из пр1G является единственный элемент из пр2G.

Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция f имеет тип AB (обозначение f: AB ). Каждому элементу а из своей области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это обозначается хорошо известной записью f(a) = b. Иногда, если это не вызывает неудобств, используют обозначения fа или аf. Элемент а называется аргументом функции, b – значением функции на а. Полностью определенная функция f: AB называется отображением А в В. Если соответствие f при этом сюръективно, т.е. каждый элемент В имеет прообраз в А, то говорят, что имеет место отображение А на В (сюръективное отображение). Отображение типа A A часто называют преобразованием множества А.


Итак, разобравшись с понятиями «алгебра» (множество вместе с заданной на нём совокупностью операций), «n-арная операция» (функциональное соответствие между прямым произведением множества на себя n раз и этим множеством), «множество» и «вектор», вернёмся к понятиям «гомоморфизм» и «изоморфизм».

Пусть даны две алгебры A(K: 1, 2, …, p) и B(M: ψ1, ψ2, …,ψp) одинакового типа («одинаковый тип» означает, что операции с одинаковым индексом имеют одну и ту же арность, то есть операции 1, ψ1 имеют арность 4, например; операции 2, ψ2 имеют арность 2, допустим).

Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение Г: K M , удовлетворяющее условию

Г(i(k1, k2, …, kl(i)))=ψi(Г(k1), Г(k2), …, Г(kl(i))) (*)

для всех i=1, 2, …, p [l(i) – арность операций i, ψi, которая у них по условию одинакова – помните условие про «одинаковый тип» алгебр А и В] и для всех kK.

Смысл условия (*) в том, что, независимо от того, выполнена ли сначала операция φi в А и затем произведено отображение Г либо сначала произведено отображение Г, а затем в В выполнена соответствующая операция ψi, результат будет одинаков.

Изоморфизмом алгебры А на алгебру В, если коротки, называется взаимнооднозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение Г-1: M K , также взаимно-однозначное.

Я изобразил схематично то, как понимаю гомоморфизм. В случае изоморфизма красные и зелёная стрелки должны быть двунаправлены.

Например, изоморфизмом между алгебрами R ,  и R, , где R – положительная часть R, является отображение aloga (по любому основанию). Условие (*) имеет вид равенства log(a∙b) = loga + logb.

Исходя из рисунка, операции φi и ψi имеют арность 3 (напомню, что у алгебр А и В), то есть операция φi вектору (k1, k2, k3) ставит в функиональное соответствие элемент k9, а операция ψi вектору (m1, m2, m3) ставит в соответствие элемент m9. Красными же и зелёной линиями обозначен этот самый гомоморфизм. То есть неважно что сделать сначала в множестве К: найти соответствие вектору (k1, k2, k3) в этом множестве (К), а потом его «сгомоморфить» на множество М или же сначала «сгомоморфить» вектора (k1, k2, k3) на множество М и потом найти функциональное соответствие этого результата согласно операции ψi – в итоге мы получим один и тот же результат, а именно, m9.

Неправда ли я крут, господа?

Для тех, кто спросит, где это может применяться

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его существо, как видно из последних двух примеров, можно выразить следующим образом: если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции В можно переименовать так, что В совпадет с А. Из условия (1) изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в любой изоморфной ей алгебре А'. Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре А, автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение «рассматривать объекты с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т.е. являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.

думаю, что у вас в шмыхграде ты самый крутой

-Цитата от LapTop

-Цитата от Шмых

Интересующимся классическим курсом математики рекомендую ознакомиться со справочником "Справочник по математике для научных работников и инженеров" за авторством двух Корнов (то ли это муж и жена; то ли брат и сестра; то ли просто однофамильцы). Ссылку дать не могу (а то вдруг чьи-то авторские права нарушу!), но нагуглить её вполне реально. В этом справочнике доступно описан весь классический курс математики (и, вроде как, материал порой даже выходит за рамки классического курса)

Забавно, совершенно случайно нашел вчера(!) у себя этот учебник среди тонны других материалов советского периода, а сегодня читаю этот пост). Все бессмысленные "методики образования по методу Партии" выкинуты как хлам, но этот - реально толковый Материала больше, чем в стандартном курсе

Мне вот интересно Корны, они кем друг другу приходятся и какой национальности являются? Вроде бы, это не советский учебник, а лишь переведённый на русский язык. Хотя я могу ошибаться.

-Цитата от LapTop

-Цитата от Shapka228

Подскажите с задачкой, если кто знает. Предмет у меня "управление техническими системами", хоть и не математика, но что-то похожее. Нужно как я понял найти w(p).

Ой блин, сейчас тоже эту ебень прохожу, вообще бессмысленный предмет, по крайней мерев нашем изложении

Не скажи. Может, у тебя препод мудак и распиздяй (видывал я таких, которые целые пары лишь в игрушки рубятся и только где-то раз в месяц, наверное для вида и самоуспокоения, хуйню какую-то у доски прогоняют) или же это просто "не твоё". Тем не менее предмет довольно рульный. По крайней мере, мне он очень нравился. И смысла в нём дохуя, если вдуматься. Например, найдя ту же передаточную функцию W(s) системы (допустим, RL-цепи, где входным сигналом является сила тока, а выходным - напряжение) - если не ошибаюсь, RL-цепь в данном случае является апериодическим звеном 1-го порядка и его передаточная функция (отношения изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала) зависит от постоянной времени Т и коэффициента передачи k, которые в свою очередь зависят от величины сопротивления R и индуктивности L - так вот, найдя эту самую передаточную функцию RL-цепи W(s, T, k), где s - это оператор Лапласа (просто изображение по Лапласу оператора дифференцирования) можно, зная величину входного сигнала x(t), вычислить величину выходного сигнала y(t).

Как я уже сказал, передаточная функция W(s) - это отношение изображения по Лапласу выходного сигнала Y(s) к изображению по Лапласу входного сигнала X(s) то есть W(s)=Y(s)/X(s). Отсюда следует, что Y(s)=X(s)*W(s, T, k) - изображение по Лапласу выходного сигнала. Посчитав и взяв от него обратное преобразование Лапласа можно найти выходной сигнал y(t). Если же нам нужно получить выходной сигнал y(t) определённой формы, то мы меняя особым образом постоянную тока T и коэффициент передачи k, которые напомню зависят от величины R и L (соответственно посчитав в теории через эти самые преобразования Лапласа изменения R и L, на практике мы будем менять их включением дополнительных резисторов, изменением количества витков катушки - для изменения её индуктивности и т.п.) - так вот меняя таким образом постоянную тока Т и коэффициент передачи k, добьёмся нужной нам формы сигнала.

Например, у нас выходной сигнал u(t)=sin(t), а нам нужно u(t)=2*sin(4*t-п/2). Мы находим изображение по Лапласу для этого второго u(t). Смотрим как нам нужно изменить постоянную тока Т и коэффициент передачи k, чтобы получить это изображение; меняем R и L соответствующим образом непосредственно в самой RL-цепи и получаем требуемую нам форму выходного сигнала u(t). Или можно получить требуемую форму выходного сигнала меняя (смотря через то же самое преобразование Лапласа, как это можно сделать) величину входного сигнала x(t) (ну,можно ещё в придачу параметры RL-цепи изменить, если в этом есть надобность и поменять сигнал должным образом получается не до конца, так скажем).

-Цитата от aqvl

-Цитата от Возвращение легенды

как по мне то половину математики и геометрий надо на хуй убрать из школьной программы,всякая хуета на подобий логорифмов,интегралов и прочей поеботы мне в жизни не пригодились,а утверждение что математика развивает мозги,так не считаю,ибо нагружать свой мозг всякой неведомой хуетой,которая по жизни нигде не используется это чушь,есть много способов как интеллект и мышление развить чтоб бараном не стать,для начало хотя бы книги начать читать

по моему опыту, абсолютное большинство из тех, кто кричит про ненадобность математики и что она в жизни не пригодится - делают это из-за того, что нихуя не шарят в ней
многим всякие предметы типа общества, биологии и прочего тоже нахер не сдались, их так же убрать? школа должна давать общее образование

Не скажи. Твои слова касательно "нихуя не шарят" ко мне вряд ли подойдут, однако свою позицию относительно математики в стандартной образовательной программе я уже высказал несколькими постами ранее. И, разумеется, школа должна давать общее образование, то есть инструменты для возможности самообразования, а не попусту ебать мозги, чем собственно в наших государственных образовательных учреждениях (ГОУ) и занимаются. Уж чего-чего, а ебать мозги в наших ГОУ умеют - здесь я отдаю им должное.

Добавлено через 27 минут 13 секунд

Поправочка: Т не постоянная тока, а постоянная времени.

-Цитата от Шмых

Мне вот интересно Корны, они кем друг другу приходятся и какой национальности являются? Вроде бы, это не советский учебник, а лишь переведённый на русский язык. Хотя я могу ошибаться.

Переведенный. У меня в аннотации указано
Перевод с английского *такие-то такие-то*
Granino A Korn, Ph.D.
Professor of electrical engineering
University of arisona
Theresa M. Korn, M.S.
Мне кажется это его жена, на амазоне все её книги - в соавторстве

-Цитата от Шмых

Не скажи. Может, у тебя препод мудак и распиздяй (видывал я таких, которые целые пары лишь в игрушки рубятся и только где-то раз в месяц, наверное для вида и самоуспокоения, хуйню какую-то у доски прогоняют) или же это просто "не твоё". Тем не менее предмет довольно рульный. По крайней мере, мне он очень нравился. И смысла в нём дохуя, если вдуматься. Например, найдя ту же передаточную функцию W(s) системы (допустим, RL-цепи, где входным сигналом является сила тока, а выходным - напряжение) - если не ошибаюсь, RL-цепь в данном случае является апериодическим звеном 1-го порядка и его передаточная функция (отношения изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала) зависит от постоянной времени Т и коэффициента передачи k, которые в свою очередь зависят от величины сопротивления R и индуктивности L - так вот, найдя эту самую передаточную функцию RL-цепи W(s, T, k), где s - это оператор Лапласа (просто изображение по Лапласу оператора дифференцирования) можно, зная величину входного сигнала x(t), вычислить величину выходного сигнала y(t).

Как я уже сказал, передаточная функция W(s) - это отношение изображения по Лапласу выходного сигнала Y(s) к изображению по Лапласу входного сигнала X(s) то есть W(s)=Y(s)/X(s). Отсюда следует, что Y(s)=X(s)*W(s, T, k) - изображение по Лапласу выходного сигнала. Посчитав и взяв от него обратное преобразование Лапласа можно найти выходной сигнал y(t). Если же нам нужно получить выходной сигнал y(t) определённой формы, то мы меняя особым образом постоянную тока T и коэффициент передачи k, которые напомню зависят от величины R и L (соответственно посчитав в теории через эти самые преобразования Лапласа изменения R и L, на практике мы будем менять их включением дополнительных резисторов, изменением количества витков катушки - для изменения её индуктивности и т.п.) - так вот меняя таким образом постоянную тока Т и коэффициент передачи k, добьёмся нужной нам формы сигнала.

Например, у нас выходной сигнал u(t)=sin(t), а нам нужно u(t)=2*sin(4*t-п/2). Мы находим изображение по Лапласу для этого второго u(t). Смотрим как нам нужно изменить постоянную тока Т и коэффициент передачи k, чтобы получить это изображение; меняем R и L соответствующим образом непосредственно в самой RL-цепи и получаем требуемую нам форму выходного сигнала u(t). Или можно получить требуемую форму выходного сигнала меняя (смотря через то же самое преобразование Лапласа, как это можно сделать) величину входного сигнала x(t) (ну,можно ещё в придачу параметры RL-цепи изменить, если в этом есть надобность и поменять сигнал должным образом получается не до конца, так скажем).

Ну да, у меня препод оказался так себе. Я уже сдал зачет, поэтому теперь представляю о чем это там)) А так наше изложение предмета:
-Передаточные функции. Абстрактная поебень, не понятно, к чему применяющаяся.
-Системы, звенья. Выглядят как квадратики на доске, но тем не менее хотя бы понятно, где используются передаточные ф-ции.
-Блин, а эти системы оказывается во стольких местах используются! Конец семестра, чтение материала можно начинать заново..
И вот так всегда. Технический универ подразумевает, что тебе интересно, о чем там говорится, и поэтому подача материала просто аховая

-Цитата от LapTop

Передаточные функции. Абстрактная поебень, не понятно, к чему применяющаяся.

Ну я же объяснил - коротко: для нахождения выходного сигнала системы и для построения выходного сигнала требуемой формы (через изменения параметров этой самой передаточной функции и/или формы входного сигнала).

-Цитата от Шмых

Ну я же объяснил - коротко: для нахождения выходного сигнала системы и для построения выходного сигнала требуемой формы (через изменения параметров этой самой передаточной функции и/или формы входного сигнала).

Яж сказал уже, что сдал зачет
Мне просто такая подача не нравится - объяснить какую-то абстрактную хрень, а потом между делом сказать уже, что она из себя представляет

-Цитата от LapTop

Яж сказал уже, что сдал зачет

Поздравляю, братан!

-

Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение Г: K M , удовлетворяющее условию
Г(i(k1, k2, …, kl(i)))=ψi(Г(k1), Г(k2), …, Г(kl(i))) (*)
для всех i=1, 2, …, p [l(i) – арность операций i, ψi, которая у них по условию одинакова – помните условие про «одинаковый тип» алгебр А и В] и для всех kK.

Смысл условия (*) в том, что, независимо от того, выполнена ли сначала операция φi в А и затем произведено отображение Г либо сначала произведено отображение Г, а затем в В выполнена соответствующая операция ψi, результат будет одинаков.

Изоморфизмом алгебры А на алгебру В, если коротки, называется взаимнооднозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение Г-1: M K , также взаимно-однозначное.

Вот более человеческое и более общее объяснение что такое ИЗОМОРФИЗМ и ГОМОМОРФИЗМ,

ИЗОМОРФИЗМ И ГОМОМОРФИЗМ – понятия, выражающие одинаковость (изоморфизм; от греч. isos – одинаковый и morphe – форма) либо подобие (гомоморфизм; от греч. homoios – подобный) строения (структуры) систем (множеств, процессов, конструкций). Две системы называются изоморфными (находящимися в отношении изоморфизма), если между их элементами, а также функциями (операциями), свойствами и отношениями, осмысленными для этих систем, существует или может быть установлено взаимооднозначное соответствие. В этом случае каждая из систем называется изоморфным образом другой.

Отношение гомоморфизма является более общим (и более слабым). Поэтому всякий изоморфизм есть гомоморфизм, но не наоборот. В этом случае однозначное соответствие между элементами систем выполняется только в одном направлении. Каждому элементу первой системы соответствует единственный элемент второй системы, но не наоборот: элементу второй системы может соответствовать более одного элемента первой системы. В этом случае первая система называется гомоморфным прообразом для второй, а вторая – гомоморфным образом первой.

Под понятия изоморфизма и гомоморфизма могут быть подведены широкие классы отношений, существующие между системами различной природы (напр., отношения между фотографией и оригиналом, переводом языкового текста на другой язык и подлинником, географической картой и соответствующей местностью, движениями небесных тел и описывающей их системой дифференциальных уравнений и пр.). Вполне точно эти понятия реализуются в математике и логике.

Изоморфизм представляет собой отношение типа равенства. Отсюда проистекает его методологическое значение как средства обоснования правомерности переноса знаний, полученных при изучении одной изоморфной системы, на другую. Гомоморфизм же, не будучи симметричным отношением, обосновывает перенос знаний лишь с гомоморфного образа на прообраз, но не наоборот (любые знания, извлекаемые, напр., из верной географической карты, переносимы на отображаемую ею местность, но не все, что имеется на местности, отображается на карте).

Частный случай ГМ и ИМ для алгебр, рассмотренный выше, вполне вписываются в общую концепцию ) только это далеко не самый простой способ понять суть ГМ и ИМ

короче

Показать скрытый текст

Понятия изоморфизма и гомоморфизма используются для характеристики понятия модели и метода моделирования, а также гносеологической категории образа (если он фиксирован средствами каких-либо знаковых систем).

Добавлено через 11 минут 38 секунд

чем голову всякой ерисью забивать....
....Вот лучше проверьте свои знания
я за 40 минут верно решил 10 заданий из 19 (53%). результат мог бы быть и лучше, но не сразу понял в каком виде надо вписывать ответ )

-Цитата от Trickster

Кто то сможет решить задачи по курсу Методы Оптимизации? Там Задачи Максимизации, Минимизации, Симплекс Методы. Надо сегодня)

кидай!